Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:

Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.

Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.

Таблица 1.

базисные переменные	Свободные члены в ограничениях	Небазисные переменные
		x 1	x 2	...	x l	...	x n
x n+1	b 1	a 11	a 12	...	a 1l	...	a 1n
x n+2	b 2	a 21	a 22	...	a 2l	...	a 2n
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n+r	b2	a r1	a r2	...	a rl	...	a rn
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n+m	b m	a m1	a m2	...	a ml	...	a mn
F(x) max	F 0	-c 1	-c 2	...	-c 1	...	-c n

Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .

Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.

Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.

Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении 1 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.

Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течении 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, оборудование второго типа – 60 часов, оборудование третьего типа – 50 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
1) Составить математическую модель задачи

2) Решить графическим методом

3)Решить симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц

Решение

Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле: .

Запишем математическую модель задачи:

Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.

Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).

График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5). В этой точке целевая функция будет достигать максимума.

А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .

Симплекс-таблица составляется так:
В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В следующий столбец записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi при i –й переменной.

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:

Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.

Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае минимально, поэтому в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого столбца – 3 (выделен в таблице).

Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса.
Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.

Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .


Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

Ответы, полученные различными методами, совпадают.

Шаг 0. Подготовительный этап.

Приводим задачу ЛП к специальной форме (15).

Шаг 1. Составляем симплекс-таблицу , соответствующую специальной форме:

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение
задачи (15). Значение целевой функции на этом решении

Шаг 2. Проверка на оптимальность

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы
нет ни одного положительного элемента то
, оптимальное решение задачи ЛП найдено:. Алгоритм завершает работу.

Шаг 3. Проверка на неразрешимость

Если среди
есть положительный элемент
, а в соответствующем столбце
нет ни одного положительного элемента
, то целевая функцияL является неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4. Выбор ведущего столбца q

Среди элементов
выбираем максимальный положительный элемент
.Этот столбец объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 5. Выбор ведущей строки p

Среди положительных элементов столбца
находим элемент
, для которого выполняется равенство

.

Строку p объявляем ведущей (разрешающей). Элемент
объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 6. Преобразование симплексной таблицы

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем, вместо небазисной пере меннойзаписываем;

б) ведущий элемент заменяем обратной величиной
;

в) все элементы ведущего столбца (кроме
) умножаем на
;

г) все элементы ведущей строки (кроме
) умножаем на;

д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».

Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый – соответствующий элемент ведущего столбца;

второй – соответствующий элемент ведущей строки;

третий – обратная величина ведущего элемента
.

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7. Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.

2.3. Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум

Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум отличается от алгоритма для задачи на минимум только знаками индексной строки коэффициентов в целевой функции
, а именно:

На шаге 2:
:

На шаге 3
. Целевая функция является неограниченной сверху на допустимом множестве.

На шаге 4 :
.

2.4. Пример решения задачи симплекс-методом

Решить задачу, записанную в виде (15).

Составим симплексную таблицу:

Так как коэффициенты строки целевой функции неотрицательны, то начальное базисное решение не является оптимальным. Значение целевой функции для этого базисаL=0.

Выбираем ведущий столбец – это столбец, соответствующий переменной .

Выбираем ведущую строку. Для этого находим
. Следовательно, ведущая строка соответствует переменной.

Проводим преобразование симплексной таблицы, вводя переменную в базис и выводя переменнуюиз базиса. Получим таблицу:

Одна итерация метода завершена. Переходим к новой итерации. Полученная таблица неоптимальная. Базисное решение, соответствующее таблице, имеет вид . Значение целевой функции на этом базисеL= -2 .

Ведущий столбец здесь – столбец, соответствующий переменной . Ведущая строка – строка, соответствующая переменной. После проведения преобразований получим симплексную таблицу:

Еще одна итерация завершена. Переходим к новой итерации.

Строка целевой функции не содержит положительных значений, значит, соответствующее базисное решение является оптимальным, и алгоритм завершает работу.

Симплекс-метод - это итеративный процесс направленного решения системы уравнений по шагам, который начинается с опорного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения.

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения задач линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом в следующих формах записи:

• в виде симплексной таблицы (метод жордановых преобразований); базовой форме записи;
• модифицированным симплекс-методом ; в столбцовой форме; в строчечной форме.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество ограничений) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте. Если в задании для некоторых x i отсутствуют ограничения, то ЗЛП необходимо привести к КЗЛП, или воспользоваться этим сервисом . При решении автоматически определяется использование М-метода (симплекс-метод с искусственным базисом) и двухэтапного симплекс-метода .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Объем товара Х (в партиях)	Доход G(X)
	1	2	3
0	0	0	0
1	28	30	32
2	41	42	45
3	50	55	48
4	62	64	60
5	76	76	72

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

1. Составление первого опорного плана . Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.
2. Проверка плана на оптимальность . Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.
3. Определение ведущих столбца и строки . Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.
4. Построение нового опорного плана . Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса .

Если необходимо найти экстремум целевой функции, то речь идет о поиске минимального значения (F(x) → min , см. пример решения минимизации функции) и максимального значения ((F(x) → max , см. пример решения максимизации функции)

Экстремальное решение достигается на границе области допустимых решений в одной из вершин угловых точек многоугольника, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками.

Основная теорема линейного программирования . Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения в некоторой точке области допустимых решений, то она принимает это значение в угловой точке. Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то она принимает это же значение в любой из выпуклой линейной комбинации этих точек.

Суть симплекс-метода . Движение к точке оптимума осуществляется путем перехода от одной угловой точки к соседней, которая ближе и быстрее приближает к X опт. Такую схему перебора точек, называемую симплекс-метод , предложил Р. Данцигом.
Угловые точки характеризуются m базисными переменными, поэтому переход от одной угловой точки к соседней возможно осуществить сменой в базисе только одной базисной переменной на переменную из небазиса.
Реализация симплекс-метода в силу различных особенностей и постановок задач ЛП имеет различные модификации .

Построение симплекс-таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Как с помощью симплекс-таблицы определить, что решение задачи линейного программирования является оптимальным?
Если последняя строка (значения целевой функции) не содержит отрицательных элементов, следовательно, найдет оптимальный план.

Замечание 1. Если одна из базисных переменных равна нулю, то крайняя точка, соответствующая такому базисному решению - вырожденная. Вырожденность возникает, когда имеется неоднозначность в выборе направляющей строки. Можно вообще не заметить вырожденности задачи, если выбрать другую строку в качестве направляющей. В случае неоднозначности нужно выбирать строку с наименьшим индексом, чтобы избежать зацикливания.

Замечание 2. Пусть в некоторой крайней точке все симплексные разности неотрицательные D k ³ 0 (k = 1..n+m),т.е. получено оптимальное решение и существует такой А k - небазисный вектор, у которого D k = 0. Тогда максимум достигается по крайней мере в двух точках, т.е. имеет место альтернативный оптимум. Если ввести в базис эту переменную x k , значение целевой функции не изменится.

Замечание 3. Решение двойственной задачи находится в последней симплексной таблице. Последние m компонент вектора симплексных разностей(в столбцах балансовых переменных) - оптимальное решение двойственной задачи. Значение целевых функций прямой и двойственной задачи в оптимальных точках совпадают.

Замечание 4. При решении задачи минимизации в базис вводится вектор с наибольшей положительной симплексной разностью. Далее применяется тот же алгоритм, что и для задачи максимизации.

Если задано условие «Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью», то соответствующее условие представляет собой равенство.

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

1. Указать способ нахождения оптимального опорного решения
2. Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения
3. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

1. Привести задачу к каноническому виду
2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)
3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода
4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается
5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 26.1

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 6 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 6 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k — c k

• C б = (с 1 , с 2 , ... , с m) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных
• X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) — вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения
• С к — коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу :

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле: .

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора ΔZ 1 = — 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ 3 = — 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5). (таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.