Формальное определение

Пусть - сигнал, рассматриваемый на промежутке времени . Тогда энергия сигнала на данном интервале равна:

= = = ,

где - спектральная функция сигнала. При , средняя мощность (дисперсия)

.

Спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности).

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье , предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за громоздкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена-Тьюки) и периодограммному методу.

См. также

Литература

• Цифровая обработка сигналов: Справочник. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. - М.: Радио и связь, .
• Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. Отнес Р., Эноксон Л. - М.: Мир, .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Спектральная серия
• Спектральные серии водорода

Смотреть что такое "Спектральная плотность мощности" в других словарях:

Спектральная плотность мощности шума прибора СВЧ - 221. Спектральная плотность мощности шума прибора СВЧ Спектральная плотность мощности шума Noise spectral power density Pш Мощность шума прибора СВЧ в полосе 1 Гц Источник: ГОСТ 23769 79: Приборы электронные и устройства защитные СВЧ. Термины,… …

Спектральная плотность мощности шумового диода - 140. Спектральная плотность мощности шумового диода G Отношение среднего квадратического значения мощности шумового диода к заданному диапазону частот Источник: ГОСТ 25529 82: Диоды полупроводниковые. Термины, определения и буквенные обозначения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

спектральная плотность мощности шума - spektrinis triukšmo galios tankis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. noise spectral power density vok. Spektralleistungsdichte des Rauschens, f rus. спектральная плотность мощности шума, f pranc. densité spectrale de puissance… … Radioelektronikos terminų žodynas

Spektrinis spinduliuotės galios tankis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Pasirinktosios spektro dalies vienetinio dažnio, bangos ilgio (ar kito su jais susijusio dydžio) intervalo vidutinė spinduliuotės galios vertė.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

спектральная плотность мощности излучения - spektrinis spinduliuotės galios tankis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. radiation power spectral density vok. spektrale Strahlungsleistungsdichte, f rus. спектральная плотность мощности излучения, f pranc. densité spectrale de… … Fizikos terminų žodynas

относительная спектральная плотность мощности шума прибора СВЧ - Ндп. энергетический спектр шума энергетический спектр флуктуаций спектральная плотность шума ΔPш Отношение спектральной плотности мощности шума прибора СВЧ к выходной мощности в полосе 1 Гц. [ГОСТ 23769 79] Недопустимые, нерекомендуемые… … Справочник технического переводчика

Относительная спектральная плотность мощности шума прибора СВЧ - 222. Относительная спектральная плотность мощности шума прибора СВЧ Ндп. Энергетический спектр шума Энергетический спектр флуктуации Спектральная плотность шума Relative noise spectral power density ΔPш Отношение спектральной плотности мощности… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Спектральная плотность - В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье. Если процесс имеет… … Википедия

Спектральная плотность излучения - характеристика спектра излучения, равная отношению интенсивности (плотности потока) излучения в узком частотном интервале к величине этого интервала. Является применением понятия спектральной плотности мощности к электромагнитному излучению.… … Википедия

Спектральная плотность энергии (мощности) лазерного излучения - 5. Спектральная плотность энергии (мощности) лазерного излучения* Спектральная плотность энергии (мощности) СПЭ (СПМ) Wλ, Wv, Pλ, Pv Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен:

Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую - либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.

2) Поскольку чётная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой чётную функцию частоты . Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (6.14), (6.15) можно записать, используя интегралы в полубесконечных пределах:

(6.17)

(6.18)

3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:

(6.19)

Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путём интегрирования по положительным (физическим частотам):

(6.20)

4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:

(6.21)

При этом, как легко видеть

Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением:

(6.22)

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка .

Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причём - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

(6.23)

Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0.

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: .

Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность .

Белый шум и его свойства. Гауссовский случайный процесс.

А) Белый шум.

стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.

(7.1)

По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:

равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.

Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в § 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте . Размерность функции , являющейся отношением мощности к полосе астот, есть

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):

Разделив эту энергию на получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т

При увеличении Т энергия возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход получим

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой реализации.

В общем случае величина должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция характеризует весь процесс в целом.

Опуская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением то спектральную плотность следует представить в форме

Ниже приводится краткое описание некоторых сигналов и опре­деляются их спектральные плотности. При определении спектраль­ных плотностей сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, пользуемся непосредственно формулой (4.41).

Спектральные плотности ряда сигналов приведены в табл. 4.2.

1) Импульс прямоугольной формы (табл. 4.2, поз. 4). Колебание, изобра­женное на рис. (4.28, а), можно записать в виде

Его спектральная плотность

График спектральной плотности (рис. 4.28, а) построен на основе прове­данного ранее анализа спектра периодической последовательности однополярных, прямоугольных импульсов (4.14). Как видно из (рис. 4.28, б), функция обра­щается в нуль при значениях аргумента = n , где п - 1, 2, 3, ... - лю­бое целое число. При этом угловые частоты равны = .

Рис. 4.28. Импульс прямоугольной формы (а) и его спектральная плотность (б)

Спектральная плотность импульса при численно равна его площади, т.еG (0)=A . Это положение справедливо для импульса s (t ) произвольной формы. Действительно, полагая в общем выражении (4.41) = 0, получим

т. е. площадь импульса s (t ).

Таблица 4.3.

	Сигнал s (t )			Спектральная плотность

При растягивании импульса расстояние между нулями функциисокращается, т. е. происходитсжатие спектра. Значение при этом возра­стает. Наоборот, при сжатии импульса происходит расширение его спектра а значение уменьшается. На (рис. 4.29, а, б) приведены графики амплитудного и фазового испектров прямоугольного импульса.

Рис. 4.29. Графики амплитудного (а) Рис. 4.30. Импульс прямоугольной формы, и фазового (б) спектров сдвинутый на время

При сдвиге импульса вправо (за­паздывание) на время (рис. 4.30) фазовый спектр изменяется на величи­ну, определяемую аргументом множителяexp() (табл. 4.2, поз. 9). Результирующий фазовый спектр запаздывающего импульса изо­бражен на рис. 4.29, б пунктирной ли­нией.

2) Дельта-функция (табл. 4.3, поз. 9). Спектральную плотность – функции находим по формуле (4.41), используя фильтрующее свойствоδ -функции:

Таким образом, амплитудный спектр равномерный и определяется пло­щадьюδ -функции [= 1], а фазовый спектр равен нулю [= 0].

Обратным преобразованием Фурье от функции = 1 пользуются как одним из определенийδ -функции:

Пользуясь свойством временного сдвига (табл. 4.2, поз. 9), определяем спект­ральную плотность функции , запаздывающей на время относительно:

Амплитудный и фазовый спектры функции показаны в табл. 4.3, поз. 10. Обратное преобразование Фурье от функции имеет вид

3) Гармоническое колебание (табл. 4.3, поз. 12). Гармони­ческое колебание не является абсолютно интегрируемым сигналом. Тем не ме­нее для определения его спектральной плотностиприменяют прямое пре­образование Фурье, записывая формулу (4.41) в виде:

Тогда с учетом (4.47) получаем

δ(ω) – дельта-функции, смещенные по оси частот на частоту , соответственно вправо и влево относительно. Как видно из (4.48), спектральная плотность гармонического колебания с конечной амплитудой принимает бесконечно боль­шое значение на дискретных частотахи.

Выполняя аналогичные преобразования, можно получить спектральную плотность колебания (табл. 4.3, поз. 13)

4) Функция вида (табл. 4.3, поз. 11)

Спектральная плотность сигнала в виде постоянного уровня А определяется по формуле (4.48), положив = 0:

5) Единичная функция (или единичный скачок) (табл. 4.3, поз. 8). Функция не является абсолютно интегрируемой. Если представить как предел экспоненциального импульса , т. е.

то спектральную плотность функцииможно определить как предел спектральной плотности экспоненциального импульса (табл. 4.3, поз. 1) при :

Припервое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на всех частотах, кроме= 0, где оно обращается в бесконечность, а площадь под функцией равна постоянной величине

Поэтому пределом первого слагаемого можно считать функцию . Преде­лом второго слагаемого является функция. Окончательно получим

Наличие двух слагаемых в выражении (4.51) согласуется с представлением функции в виде 1/2+1/2sign(t ). Постоянной составляющей 1/2 со­гласно (4.50) соответствует спектральная плотность , а нечетной функции - мнимое значение спектральной плотности .

При анализе воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие по­стоянный ток), в формуле (4.51) можно учитывать только второе слагаемое, представляя спектральную плотность единичного скачка в виде

6) Комплексный экспоненциальный сигнал (табл. 4.3, поз. 16). Если представить функциюв виде

то на основании линейности преобразования Фурье и с учетом выражений (4.48) и (4.49) спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

Следовательно, комплексный сигнал обладает несимметричным спект­ром, представленным одной дельта-функцией, смещенной на частотувправо относительно.

7) Произвольная периодическая функция. Представим произвольную перио­дическую функцию (рис. 4.31, а) комплексным рядом Фурье

где - частота следования импульсов.

Коэффициенты ряда Фурье

выражаются через значения спектральной плотности одиночного импуль­са s (t ) на частотах (n =0, ±1, ±2, ...). Подставляя (4.55) в (4.54) и поль­зуясь соотношением (4.53), определяем спектральную плотность перио­дической функции:

Согласно (4.56) спектральная плотность произвольной периодической функции имеет вид последовательности-функций, смещенных друг от­носительно друга, на частоту (рис. 4.31, б). Коэффициенты при δ -функциях изменяются в соответствии со спектральной плотностьюодиночного им­пульсаs (t ) (пунктирная кривая на рис. 4.31,б).

8) Периодическая последовательность δ-функций (табл. 4.3, поз. 17). Спект­ральная плотность периодической последовательности –функций

определяется по формуле (4.56) как частный случай спектральной плотности периодической функции при = 1:

Рис.4.31. Произвольная последовательность импульсов (а) и её спектральная плотность (б)

Рис. 4.32. Радиосигнал (а), спектральные плотности радиосигнала (в) и его огибающей (б)

и имеет вид периодической последовательности δ -функций, умноженных на ко­эффициент .

9) Радиосигнал с прямоугольной огибающей. Радиосигнал, представленный на (рис. 4.32,а), можно записать как

Согласно поз. 11 табл.4.2 спектральная плотность радиосигнала полу­чается путем сдвига спектральной плотностипрямоугольной огибающей по оси частот на вправо и влево с уменьшением ординат в два раза, т. е.

Это выражение получается из (4.42) путем замены частоты на частоты– сдвиг вправо и- сдвиг влево. Преобразование спектра огибающейпоказано на (рис. 4.32, б, в).

Примеры расчета спектров непериодических сигналов приведены так же в .

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную фор­му, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, определяемойой (1.47), по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при М[х (t )]=0 ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности сред­него квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случай­ной функцией х(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощ­ность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случай­ного процесса.

Спектральная плотность средней мощности представляет со­бой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω . Размерность функции W (ω) , являющейся отношением мощности к полосе частот, есть

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если из­вестен механизм образования случайного процесса. Применительно к шу­мам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет позже. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию x k (t ) и ограничив ее дли­тельность конечным интервалом Т , можно применить к ней обычное преоб­разование Фурье и найти спектральную плотность X kT (ω). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью форму­лы:

(1.152)

Разделив эту энергию на T , получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т

(1.153)

При увеличении Т энергия Э кТ возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход , получим:

г
де

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматри­ваемой k-й реализации.

В общем случае величина W k (ω) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция W k (ω) характеризует весь процесс в целом. Опуcкая индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

Для процесса с нулевым средним

(1.156)

Из определения спектральной плотности (1.155) очевидно, что W х (ω) является четной и неотрицательной функцией ω.

1.5.3 Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса

С одной стороны, скорость изменения х(t ) во времени определяет шири­ну спектра. С другой стороны, скорость изменения х (t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между W х (ω) и К х (τ) имеется тес­ная связь.

Теорема Винера - Хинчина утверждает, что К х (τ) и W x (ω) связаны между собой преобразованиями Фурье:

(1.157)

(1.158)

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид:

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобра­зований Фурье, для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса (см.рис.1.20).

Рис.1.20. Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса; границы центральной полосы: ±F 1

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах .

Если в выражение 1.158 подставить W x (ω) = W 0 = const, то получим

где δ(τ) - дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляцион­ная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0 , при котором R x (0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

Вопросы для самопроверки

Назовите основные характеристики случайного сигнала.

Как связаны математически корреляционная функция и энергетический спектр случайного сигнала.

Какой случайный процесс называется стационарным.

Какой случайный процесс называется эргодическим.

Как определяется огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала

Какой сигнал называется аналитическим.